Astrometria

Astrometria � o ramo da astronomia relacionado � medida precisa da posi��o e movimento dos corpos celestes.

A astrometria inicia com a composi��o do primeiro cat�logo de estrelas. Hiparcos Hiparco de Nicéia (c.190-c.120 a.C.), considerado o maior astrônomo da era pré-cristã, construiu um observatório na ilha de Rodes, onde fez observações durante o período de 147 a 127 a.C. Como resultado, ele compilou um catálogo com a posição no céu e a magnitude de 850 estrelas. A magnitude, que especificava o brilho da estrela, era dividida em seis categorias, de 1 a 6, sendo 1 a mais brilhante, e 6 a mais fraca visível a olho nu. Hiparco deduziu corretamente a direção dos pólos celestes, e até mesmo a precessão, que é a variação da direção do eixo de rotação da Terra devido à influência gravitacional da Lua e do Sol, que leva cerca de 26 000 anos para completar um ciclo. Para deduzir a precessão, ele comparou as posições de várias estrelas com aquelas catalogadas por Timocharis de Alexandria (c.320-c.260 a.C.) e Aristyllus de Alexandria 150 anos antes (cerca de 283 a.C. 260 a.C.).

A astrometria teve grande desenvolvimento nos pa�ses �rabes. Em 850, Alfraganus (Ahmad ibn Muhammad ibn Kathir al-Farghani) escreveu Kitab fi Jawani (Um compendium da ci�ncia das estrelas), com valores revisados da obliq�idade da ecl�ptica, do movimento de precess�o dos apogeus do Sol e da Lua, e da circunfer�ncia da Terra. Albatenius (Abu Abdallah Muhammad ibn Jabir ibn Sinan ar-Raqqi al-Harrani as-Sabi al-Batani) (853-929), na S�ria, calculou os tempos de lua nova e a dura��o do ano solar (365 d 5 h 46 m 24s) e sideral, e a precess�o dos equin�cios (54,5" por ano). Seu trabalho mais importante s�o as tabelas al-Zij al-Sabi, traduzidas para o latim por Plato Tiburtinus como De Motu Stellarum.

No s�culo X, Azophi (Abd al-Rahman al-Sufi) (903-986), da P�rsia, realizou observa��es das estrelas, determinando suas posi��es, magnitudes, cores e fez desenhos de cada constela��o, em seu Livro de Estrelas Fixas. Neste livro aparecem pela primeira vez as gal�xias (pequenas nuvens) Andromeda e a Grande Nuvem de Magalh�es. O eg�pcio Ibn Yunus (Abu al-Hasan 'Ali abi Sa'id 'Abd al-Rahman ibn Ahmad ibn Yunus al-Sadafi al-Misri) (c. 950-1009) observou mais de 10 000 vezes a posi��o do Sol durante muitos anos, usando um astrol�bio de 1,4 m de di�metro, no Cairo, Egito. Publicou as tabelas astron�micas al-Zij al-Kabir al-Hakimi, por volta do ano 1000. Suas observa��es dos eclipses foram utilizadas s�culos mais tarde pelo astr�nomo canadense-americano Simon Newcomb (1835-1909), diretor do The Nautical Almanac Office do United States Naval Observatory, para investigar o movimento da Lua. Outras observa��es de Ibn Yunus foram utilizadas pelo matem�tico e astr�nomo franc�s Pierre-Simon, marqu�s de Laplace, (1749-1827), no Obliq�idade da Ecl�ptica e Inequalidades de J�piter e Saturno. O iraniano Abu-Mahmud al-Khujandi (c.940-1000), de suas observa��es do Sol com um sextante, calculou a obliq�idade da ecl�pica em 23�32'19" (23,53�), comparado com a estimativa atual da obliq�idade no s�culo X de 23�35'.

No s�culo XV, o pr�ncipe e astr�nomo persa Ulugh Beg (Mirza Mohammad Taregh bin Shahrokh) (c.1393-1449) construiu um sextante com 36 m de raio com o qual compilou o Zij-i-Sultani, onde catalogou 1019 estrelas. No s�culo XVI, o otomano Taqi al-Din (Taqi al-Din Muhammad ibn Ma'ruf al-Shami al-Asadi) (1526-1585) construiu o observat�rio de Istambul e inventou um rel�gio mec�nico, com molas, com o qual mediu com precis�o a ascens�o reta das estrelas, revisando o Zij-i-Sultani de Ulugh Beg.

A primeira estimativa correta do valor da Unidade Astronômica ocorreu entre 5 de setembro e 1^o de outubro de 1672, quando o planeta Marte, com magnitude=-2,3, estava muito próximo da estrela brilhante ψ₂ Aquarii de magnitude=4, e pr�ximo da oposi��o de Marte, portanto próximo do perigeu.

Com as observações simultâneas de Jean Richer (1630-1696) em Cayenne, na Guiana Francesa, Jean Picard (1620-1682) e Olaus Rømer (1644-1710) em Paris, Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) estimou a paralaxe de Marte como 15" entre Cayenne e Paris (7200 km de dist�ncia, 25" total, 2R_Terra) e, considerando que Marte está a 1,52 UA do Sol, determinado por Johannes Kepler, estimou o valor da UA como 140 milhões de km. O valor correto é de 149,597870691 milhões de km. Para comparação, o olho humano só consegue detectar ângulos maiores que cerca de 1'=60".
A primeira tentativa de medir a paralaxe das estrelas pelo astr�nomo ingl�s James Bradley (1693-1762) ocorreu em 1729, e embora o movimento das estrelas fosse insignificante para seu telesc�pio, ele descobriu a aberra��o da luz (1729, Philosophical Transactions of the Royal Society, XXXV, 637), e a nuta��o do eixo da Terra (1748, Philosophical Transactions of the Royal Society, XLV, I), ap�s observar seu per�odo completo, de 18,6 anos. Seu cat�logo de 3222 estrelas foi refinado em 1807 por Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), o pai da astrometria moderna, medindo a primeira paralaxe estelar: 0,3" para a estrela bin�ria 61 Cygni. Bessel recebeu o pr�mio Lalande do Instituto da Fran�a por sua tabela de refra��o, baseada nas observa��es de Bradley. Bessel foi o primeiro astr�nomo a considerar que antes de poder usar uma medida, ele precisava determinar todos os tipos de incertezas que pudessem afetar a medida. Ele tamb�m calculou os movimentos pr�prios das estrelas observadas por Bradley.

Como a paralaxe das estrelas � pequena, somente 60 estrelas tiveram sua paralaxe medida at� o fim do s�culo XIX. Somente com a automa��o das medidas de placas fotogr�ficas, na d�cada de 1960, foi poss�vel compilar com efici�ncia grandes cat�logos.

Observat�rio Abrah�o de Moraes, em Valinhos, SP, do Instituto Astron�mico e Geof�sico da USP, com c�rculo meridiano e astrol�bio impessoal Danjon.

As medidas das posi��es precisas das estrelas s�o feitas com instrumentos dedicados, como o c�rculo meridiano, que se move somente sobre o meridiano local (linha passando pelos polos e pelo z�nite) e registra quando um astro cruza este meridiano, o tubo zenital, que mede somente as estrelas que passam muito pr�ximas do z�nite do local, e os astrol�bios, que observam o meridiano pr�ximo de uma altitude de 60°, como o astrol�bio impessoal de Danjon, em honra do astr�nomo franc�s Andr�-Louis Danjon (1890-1967), um telesc�pio horizontal onde um prisma � montado com uma face em frente a objetiva do telesc�pio. Abaixo do prisma existe um espelho formado por um prato com merc�rio l�quido. A imagem da estrela, e sua reflex�o do espelho de merc�rio, s�o refletidas internamente no prisma e coincidem no plano focal do telesc�pio quando a sua dist�ncia zenital � exatamente o meio �ngulo do prisma (30° para um prisma de 60°).

Nos anos 1980 os CCDs (Charged Coupled Devices) substitu�ram as placas fotogr�ficas e reduziram as incertezas �ticas para a faixa de alguns milisegundo de arco. � importante notar que 1 mili-segundo de arco (msa) � equivalente ao tamanho angular de uma pessoa na superf�cie da Lua vista da Terra. Para atingir esta precis�o, foi necess�rio corrigir pelo efeito de desvio da luz pelo Sol previsto pela relatividade geral, e que � de 1,7 segundos de arco na borda do Sol, e 4 mili-segundos de arco a 90� do Sol. De 1989 a 1993, o sat�lite da Ag�ncia Espacial Europ�ia (ESA) Hipparcos (High-Precision Parallax Collecting Satellite) obteve astrometria em �rbita, escapando das distor��es da atmosfera da Terra, medindo a posi��o, paralaxe e movimento pr�prio de 118 218 estrelas, com precis�o de miliseguindos de arco. O cat�logo Tycho incluiu dados de 1 058 332 estrelas, com precis�o de 20 a 30 msa. O cat�logo Tycho 2, de 2000, soma 2 539 913 estrelas, e inclui 99% de todas as estrelas mais brilhantes que magnitude 11. Atualmente o cat�logo do US Naval Observatory, USNO-B1.0, de todo o c�u, mant�m a posi��o, magnitude e movimento pr�prio de mais de um bilh�o de estrelas, at� V=21. Durante os �ltimos 50 anos, 7435 placas Schmidt foram utilizadas pra complet�-lo, com precis�o de 0,2 msa e 0,3 mag em cinco cores [David G. Monet et al. (2003, Astronomical Journal, 125, 984]. O Gaia-PS1-SDSS (GPS1) Proper Motion Catalog combina a astrometria do Gaia Data Release 1, Pan-STARRS 1, SDSS e 2MASS para calcular o movimento pr�prio de 350 milh�es de fontes cobrindo 3/4 do c�u at� m_r=20, com incerteza sistem�tica menor que 0,3 msa/ano, e precis�o t�pica de 1,5 a 2,0 msa/ano. A miss�o espacial Gaia (Global Astrometric Interferometer for Astrophysics) da European Space Agency, com 106 CCDs cobrindo 0,5×1 m, est� em opera��es no ponto lagrangeano 2, a 1,5 milh�es de km na dire��o antisol, desde 2014. Em 25 de abril de 2018 ser� liberado o Data Release 2, com a paralaxe e movimento pr�prio de mais de 1 bilh�o de estrelas.

A posi��o de uma fonte astron�mica no c�u � uma de suas caracter�sticas mais importantes, pela necessidade pr�tica de distinguir de maneira inequ�voca a fonte e poder observ�-la. A posi��o de uma fonte � definida atrav�s de coordenadas celestes. Estas coordenadas n�o levam em conta a dist�ncia da estrela, somente sua posi��o aparente na esfera celeste. O sistema equatorial, por ser baseado em um plano de refer�ncia comum e reconhecido para todos os observadores na superf�cie da Terra, o equador celeste, � o mais utilizado para definir a posi��o de uma fonte. As coordenadas s�o ascens�o reta (α), medida no equador a partir do ponto vernal, isto �, do ponto que representa a intersec��o do equador celeste com a ecl�ptica, e declina��o (δ), medida perpendicular ao equador, no meridiano do objeto. Outros sistemas, tamb�m compartilhados por todos, s�o o sistema de coordenadas Ecl�pticas (λ,ε) e as coordenadas Gal�ticas (l,b). As coordenadas ecl�pticas (λ,ε) tomam como referencia o plano da ecl�ptica, ou seja, o plano orbital terrestre em torno do Sol. A latitude ecl�ptica (λ) � o �ngulo da dire��o considerada em rela��o ao plano da ecl�ptica, enquanto que a longitude ecl�ptica (ε) � o �ngulo medido ao longo da ecl�ptica, com origem no ponto vernal.

O sistema Gal�tico toma como plano de refer�ncia o plano do disco da Via-L�ctea, nossa Gal�xia, que corresponde � latitude Gal�tica b=0°. A dire��o ao longo desse plano que corresponde � longitude Gal�tica l=0° � a do centro da Gal�xia.

Mas como obter as coordenadas de um objeto astron�mico a partir de sua posi��o numa imagem?

A astrometria consiste na convers�o de uma posi��o em coordenadas planas projetadas (x,y) de uma imagem para um sistema de coordenadas celestes.

Normalmente a astrometria � feita simultaneamente para todos os pontos da imagem, atrav�s de equa��es de transforma��o do tipo:

α= α₀ + a(x-x₀) + b(y-y₀)+c

δ= δ₀ + d(x-x₀) + e(y-y₀)+f

onde (α,δ) s�o as coordenadas equatoriais de um ponto (x,y) numa imagem e (α₀,δ₀) s�o as coordenadas nominais correspondentes ao ponto de refer�ncia da imagem (x₀,y₀).

Se o apontamento do telesc�pio fosse perfeito, as coordenadas do ponto de refer�ncia da imagem corresponderiam exatamente �s coordenadas (α₀,δ₀). Nesse caso ter�amos nas equa��es acima para α e δ, c=f=0. Em geral, o apontamento inicial � feito colocando o telesc�pio no z�nite e informando ao sistema de controle do telesc�pio as coordenadas geogr�ficas (latitude λ e longitude φ) do local e a data e hora local da observa��o. Com essas informa��es, � poss�vel determinar as coordenadas equatoriais que correspondem ao z�nite naquele instante (α_z=tempo sideral local; δ_z=latitude do local), e o telesc�pio pode ser apontado para qualquer outra coordenada equatorial. Como o apontamento tem falhas, faz-se necess�rio incluir os termos c e f de corre��o na astrometria.

Os demais coeficientes (a, b, d e e) tamb�m s�o teoricamente conhecidos, pela escala de placa do telesc�pio, mas sempre h� necessidade de corre��es. Por exemplo, seja um telesc�pio cuja c�mara CCD est� orientada no plano focal de tal forma que a dire��o de y crescente corresponde ao norte e a dire��o de x crescente ao leste. Nesse caso ter�amos

$a=\frac{1}{cos(\delta)} \frac{ds}{dp}$

$e=\frac{ds}{dp}$

onde ds/dp � a escala da imagem, que em geral � expressa em "/pix ou "/mm. O termo cos(δ) na express�o do coeficiente a se deve ao fato de que a ascens�o reta (α) varia ao longo de um paralelo celeste, que s� corresponde a um arco de grande c�rculo no caso do equador celeste (δ=0°). Nos outros casos, a transforma��o do arco sobre a imagem em um arco em α exige o termo de corre��o: quanto maior a declina��o, menor o arco de c�rculo sobre o qual α varia e, portanto, mais r�pida a varia��o desta coordenada para uma mesma varia��o em x.

Assim como no caso da centragem (apontamento) do telesc�pio, certa flexibilidade � necess�ria para acomodar varia��es na orienta��o do CCD com rela��o aos pontos cardeais, at� porque efeitos de deforma��o gravitacional sobre os componentes �pticos do detector podem induzir varia��es nos coeficientes de convers�o astrom�trica em fun��o da dire��o de apontamento.

Por vezes, a convers�o de coordenadas retangulares (x,y) em coordenadas equatoriais (α,δ) � afetada por deforma��es da imagem no plano focal. Sabemos que nem sempre a superf�cie onde se forma a imagem de um telesc�pio, e onde colocamos o detector, � plana, havendo por vezes efeitos de curvatura. Essas curvaturas em geral afetam mais as posi��es de objetos longe do centro da imagem. Assim, termos quadr�ticos em x e y podem ser necess�rios e precisam ser determinados empiricamente.

Necessariamente a aplica��o das transforma��es dadas acima, ou de outras que incluam termos quadr�ticos e cruzados, exige que os coeficientes sejam bem determinados, caso a caso. Isso, em geral, � feito pelo uso de estrelas de refer�ncia astrom�trica nos campos imageados. Estas estrelas de refer�ncia t�m suas coordenadas equatoriais bem conhecidas. As medidas da suas posi��es (x_i,y_i) na imagem, portanto, permitem que sejam determinados empiricamente os coeficientes. Em geral usa-se um conjunto de estrelas de refer�ncia e determinam-se os coeficientes por ajuste por m�nimos quadrados.

Uma vez obtidas as coordenadas equatoriais dos pontos da imagem, a convers�o para o sistema de coordenadas ecl�pticas ou Gal�ticas se d� por meio de transforma��es matem�ticas conhecidas, j� que essas convers�es equivalem a uma mudan�a de plano e eixos de refer�ncia, que s�o equivalentes a aplicar rota��es de um sistema para chegar ao outro.

Para finalizar, h� ainda que se distinguir astrometria relativa (a um dado sistema) de astrometria absoluta. O processo descrito acima � o de obten��o de valores de coordenadas com rela��o a um conjunto de estrelas cujas posi��es s�o conhecidas em um dado sistema, em geral o sistema equatorial de coordenadas. O problema com esse sistema � que nem o plano do equador, nem a dire��o do ponto vernal, que lhes servem de refer�ncia, constituem um referencial inercial, j� que o equador e o eixo de rota��o da Terra variam de orienta��o no espa�o, pois a Terra sofre perturba��es gravitacionais dos outros objetos do Sistema Solar, em especial do Sol e da Lua. Essas perturba��es d�o origem aos efeitos de precess�o (per�odo=26 mil anos, amplitude=2×23,5°) e nuta��o do eixo (per�odo=18,6 anos, amplitude=9,2 segundos de arco). Esses efeitos podem ser descritos por modelos de din�mica gravitacional, mas ainda h� termos de deslocamento dos p�los celestes que n�o s�o bem descritos pelos modelos, j� que envolvem os campos gravitacionais de v�rios corpos n�o esf�ricos. Assim, o sistema equatorial sofre constante degrada��o, precisando ser continuamente redefinido. � importante notar que n�o faz sentido falar de coordenadas equatoriais sem especificar a que equin�cio (ou seja, onde estava o ponto vernal) elas se referem, que tamb�m muda com o tempo.

Al�m disso, a pr�pria �rbita da Terra em torno do Sol � perturbada em fun��o das intera��es gravitacionais interplanet�rias. Tanto o plano da �rbita quanto sua excentricidade sofrem perturba��es. E novamente, essas s�o apenas em parte modeladas com precis�o.

Assim, o ponto vernal, que � uma das dire��es de coincid�ncia entre o plano equatorial e o plano orbital, tamb�m varia, mesmo que o plano equatorial fosse fixo. Essa varia��o do plano orbital ent�o tamb�m exige que o sistema de coordenadas ecl�pticas seja descartado como um sistema inercial, posto que est� sempre sofrendo varia��es.

E para finalizar, as estrelas sofrem de movimentos pr�prios, causados pela acelera��o induzida pelo potencial gravitacional dentro da Gal�xia. Assim sendo, qualquer sistema de coordenadas baseado no uso de um conjunto de estrelas de refer�ncia, tamb�m � n�o inercial e sofre de degrada��o com o passar do tempo.

A defini��o de um sistema inercial de coordenadas, para o qual possamos atribuir um car�ter de sistema em repouso com rela��o � complicada din�mica dos objetos locais do Sistema Solar e da Gal�xia, � a de um sistema baseado em fontes distantes, quasares e r�dio-fontes. Estes est�o entre os objetos mais distantes que conhecemos no Universo. Suas posi��es relativas s�o totalmente desvinculadas da din�mica interna do Sistema Solar e da Gal�xia. Assim um sistema de coordenadas baseado nesses objetos como refer�ncia pode ser tido como absoluto, ou seja, n�o sofre uma degrada��o ao longo do tempo. Desde 2010 a Uni�o Astron�mica Internacional recomenda o International Celestial Reference Frame 2 (ICRF2, ver http://rorf.usno.navy.mil/ICRF2/), baseado em medidas de Very Long Baseline Interferometry (VLBI) de 323 radio fontes distantes como sistema de coordenadas de refer�ncia mais confi�vel, atingindo uma precis�o de 0,02 milissegundos de arco.

Refra��o

Um dos fatores que precisamos levar em contas nas observa��es � a refra��o atmosf�rica. Seja z a dist�ncia zenital de um objeto celeste. Partindo da Lei de Refra��o

n•sen(z)=n'•sen(z')

onde n' � o �ndice de refra��o da atmosfera, n=1 o �ndice no v�cuo, z' � a dist�ncia zenital aparente, a refra��o m�dia, R=z-z', � dada por

R=A tan z' + B tan³ z'

onde A=58,16" e B=-0,067" s�o valores m�dios para 10 C e 760 mm de Hg de press�o, por exemplo.
O Astronomical Almanac prop�e A=16,27" P/T, para press�o em millibars e T em K.

A corre��o na ascens�o reta e declina��o, para um astro com �ngulo hor�rio H em um local de latitude Φ � dada por

$\Delta \alpha = \frac{k \sec^2\delta {sen}H} {\tan \delta \tan\phi+\cos H}$
$\Delta \delta = \frac{k(\tan\phi-\tan\delta\cosH)} {\tan \delta \tan\phi+\cos H}$

onde aproximamos k=A e B=0.

Segundo Alexei V. Filippenko (1982, Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 94, 715), ao n�vel do mar (P=760mm Hg, T=15 C), o �ndice de refra��o do ar � dado por:

[n(λ)-1]×10⁶=64,328+29498,1/[146-(1/λ)²]+255,4/[41-(1/λ)²]

onde λ � o comprimento de onda no v�cuo em microns.

Para diferentes temperaturas e press�es,

[n(λ)-1]_(T,P)= [n(λ)-1]_(15,760)P[1+(1,049-0,0157T)10^-6P}/[720,883(1+0,003661T)]

Para corrigir este �ndice pela quantidade de vapor d'�gua, precisamos multiplicar a express�o acima por (0,0624-0,000680/l2)/(1+0,003661T)f, onde f � a press�o de vapor de �gua em mm de Hg.

Para uma altitude t�pica dos observat�rios de 2 km e uma latitude de ±30°, as condi��es m�dias s�o P=600mm Hg, T=7 C e f=8mm Hg. Substituindo nas express�es acima, pode-se calcular a refra��o em segundos de arco num comprimento de onda λ relativa � refra��o observada em 5000Å, para um astro de dist�ncia zenital z, atrav�s de:

R(λ)-R(5000Å)=206265[n(λ)-n(5000Å)]tan(z).

Por exemplo, para uma dist�ncia zenital z=45°→ sec(z)=1,41, R(3500Å)-R(7000Å)=1,18-(-0,52)=1,70 segundos de arco! Isto significa que a imagem do objeto no azul, observado a esta dist�ncia zenital, vai estar deslocada ao longo do �ngulo paral�ctico (perpendicular ao horizonte) por 1,7 segundos de arco, da imagem no vermelho.

angulo paralatico O �ngulo paral�tico, η de um objeto � o �ngulo entre o polo e o z�nite, medido no objeto. N�o confunda com a paralaxe. Como o �ngulo de posi��o � medido a partir do polo, um �ngulo de posi��o igual ao �ngulo paral�tico � perpendicular ao horizonte. O �ngulo paral�tico pode ser calculado de:

sen(η) = sen(A)×cos(φ)/cos(δ)
cos(η) = [sen(φ) - sen(δ)×cos(z)]/[cos(δ)×sen(z)]
cos(η) = [sen(φ)×sen(z) - cos(φ)×cos(z)×cos(A)]/cos(δ)

onde φ � a latitude do observador, δ a declina��o do objeto, z a dist�ncia zenital (altitude = 90°-z), e A o azimute do objeto.

δ-δ'= k tan z' cos η
α-α'= k tan z' sec δ' sen η

� muito importante colocar a fenda de um espectr�grafo no �ngulo paral�tico para que o espectro no azul e no vermelho caiam dentro da fenda. Como o instrumento vai girar junto com o telesc�pio, � necess�rio estimar o �ngulo paral�tico do meio da exposi��o antes de iniciar a observa��o. Nem todos os espectr�grafos est�o automatizados para permitirem a mudan�a da posi��o da fenda para cada objeto, o que pode introduzir uma perda de luz significativa e muitos problemas na calibra��o por fluxo, j� que a perda para a estrela de compara��o n�o � similar � perda para o objeto.

Aberra��o

A luz da fonte 1 parecer� ter se originado em 2, pelo telesc�pio ter se movimentado devido � rota��o e/ou movimento orbital da Terra (Fonte: Wikipedia).

A aberra��o da luz, descoberta por James Bradley em 1728, ocorre por que a posi��o de uma estrela no c�u � deslocada por uma quantidade devido ao movimento da Terra perpendicular � linha de visada. O deslocamento depende da raz�o entre a velocidade orbital da Terra e a velocidade da luz, e a posi��o da estrela, j� que enquanto a luz atravessa a dist�ncia focal do telesc�pio, a Terra moveu-se um pequeno �ngulo. Mas o �ngulo n�o depende da dist�ncia focal, j� que tanto o cateto quando a hipotenusa dependem desta, cancelando-se. � o mesmo efeito que faz a chuva parecer cair em um �ngulo quando estamos caminhando. aberra��o=v/c senθ, onde v � a velocidade do observador, c a velocidade da luz, e θ o �ngulo entre a dire��o de movimento e o de incid�ncia da luz. A velocidade orbital da Terra em torno do Sol varia ao longo do ano, j� que sua �rbita � el�ptica, mas usando-se o valor m�dio de v=2πUA/ano=30 km/s, obt�m-se a constante de aberra��o (efeito m�ximo), v_orbital/c×cosec 1"=20,5", e corresponde ao deslocamento �ngular m�ximo devido ao movimento da Terra. James Bradley mediu que a posi��o da estrela γ Draconis se moveu 20" de dezembro a mar�o de 1725, e apresentou a teoria da aberra��o em janeiro de 1729 � Royal Astronomical Society.

Quando o objeto est� em quadratura, isto �, a 90° do Sol, a aberra��o orbital � nula, pois neste caso o movimento da �rbita da Terra em torno do Sol n�o est� nem se aproximando nem se afastando do objeto. A aberra��o diurna, devido � rota��o da Terra, depende da latitude do observador, sendo nula nos polos e m�xima no equador, j� que o polo n�o se move por rota��o, e � no m�ximo 0,32", quando o observador est� no equador, onde a velocidade � maxima, considerando-se a velocidade diurna de v=2πR_Terra/dia=0,4651 km/s. Bradley calculou a velocidade da luz, obtendo c=301 000 km/s, comparando os �ngulos de observa��o de uma estrela com um intervalo de seis meses e usando a velocidade da �rbita da Terra, v, e o �ngulo φ entre o telesc�pio e a dire��o da �rbita da Terra c²=(c²+v²-2vccosφ)^1/2.

Refer�ncias: William Marshall Smart, Textbook on Spherical Astronomy, 6^th edition, 1977, Cambridge University Press, p. 67-73; Basilio Santiago, texto Astrometria.

Sistema de Coordenadas Globais - World Coordinate System (WCS)

O World Coordinate System (WCS) define a rela��o entre as coordenadas em p�xeis com as coordenadas celestes. Nos cabe��rios das imagens astron�micas, normalmente escritas no sistema de transporte de imagens flex�vel - FITS (Flexible Image Transport System), as indica��es das coordenadas para cada pixel da imagem s�o escritas em palavras chaves (keywords) do WCS. As coordenadas s�o globais (world) porque permitem identificar cada pixel em um sistema multi-dimensional de par�metros, sejam as coordenadas celestes em um dado sistema e proje��o, sejam as informa��es sobre um determinado espectro. Por conven��o, no FITS todos os �ngulos devem ser expressos em graus. Note que tipos de proje��es planas diferentes divergem em coordenadas diferentes. Por exemplo, a proje��o tipo Mercartor diverge nos polos, enquanto as proje��es gn�micas divergem no equador. A proje��o TAN, de tangencial, � a proje��o da esfera celeste no plano do detector.

As palavras chaves principais, com valores de exemplo, s�o:

CTYPE1  = 'RA---TAN'           / Tipos de Coordenadas do eixo 1
CTYPE2  = 'DEC--TAN'           / Tipos de Coordenadas do eixo 2
CRVAL1  =          1.497921667 / Valor da coordenada 1 no ponto de refer�ncia 
CRVAL2  =        -10.310828889 / Valor da coordenada 2 no ponto de refer�ncia 
CRPIX1  =               537.75 / Pixel de refer�ncia da coordenada 1
CRPIX2  =                  0.5 / Pixel de refer�ncia da coordenada 2
CD1_1   =            -8.56E-05 / Matriz de transforma��o das coordenadas
CD2_2   =            -8.56E-05 / Matriz de transforma��o das coordenadas
CDELT1  =            -8.56E-05 / Valor da derivada da coordenada 1
CDELT2  =            -8.56E-05 / Valor da derivada da coordenada 2

Por exemplo, uma imagem atual do SOAR tem no header:

RAPANGL =                 -90. / Position angle of RA axis (deg)                
DECPANGL=                   0. / Position angle of DEC axis (deg)  
NAXIS   =                    2 / Number of axes                                 
NAXIS1  =                  256 / Axis length                                    
NAXIS2  =                 1024 / Axis length     
RA      =           265.257417 / 17:41:01.7 RA (J2000) pointing (deg)  
DEC     =            -53.74644 / -53:44:47.1 DEC (J2000) pointing (deg)
RADECSYS= 'FK5     '           / Deafult coordinate system  
RADECEQ = 'unavail '           / Default equinox  
CTYPE1  = 'RA---TNX'           / Coordinate type                                
CTYPE2  = 'DEC--TNX'           / Coordinate type                                
CRVAL1  =          1.497921667 / Coordinate reference value                     
CRVAL2  =        -10.310828889 / Coordinate reference value                     
CRPIX1  =               537.75 / Coordinate reference pixel 
CRPIX2  =                  0.5 / Coordinate reference pixel
CD1_1   =            -8.56E-05 / Coordinate matrix                              
CD2_2   =            -8.56E-05 / Coordinate matrix                              
CDELT1  =            -8.56E-05                                                  
CDELT2  =            -8.56E-05                                                  
WAT0_001= 'system=image'       / Coordinate system                              
WAT1_001= 'wtype=tnx axtype=ra unavail=system'                                  
WAT2_001= 'wtype=tnx axtype=dec unavail=system'

Uma imagem do VLT:

NAXIS   =                    2          / # of axes in frame                    
NAXIS1  =                 2048          / # pixels/axis                         
NAXIS2  =                 1034          / # pixels/axis          
CRVAL1  =            265.25740          / value of ref pixel                    
CRPIX1  =               1023.0          / Ref pixel in x-axis
CTYPE1  = 'RA---TAN'                    / Coordinate system of x-axis           
CRVAL2  =            -53.74644          / value of ref pixel                    
CRPIX2  =                119.7          / Ref pixel in y-axis 
CTYPE2  = 'DEC--TAN'                    / Coordinate system of y-axis    
RA      =           265.257417          / 17:41:01.7 RA (J2000) pointing (deg)  
DEC     =            -53.74644          / -53:44:47.1 DEC (J2000) pointing (deg)
EQUINOX =                2000.          / Standard FK5 (years)                  
RADECSYS= 'FK5     '                    / Coordinate reference frame   
CD1_1   =     -7.000333000E-05          / Translation matrix element.           
CD1_2   =     -0.000000000E+00          / Translation matrix element.           
CD2_1   =     -0.000000000E+00          / Translation matrix element.           
CD2_2   =      7.000333000E-05          / Translation matrix element.   
HIERARCH ESO DET CHIP1 X     =            1 / X location in array               
HIERARCH ESO DET CHIP1 Y     =            2 / Y location in array               
HIERARCH ESO DET CHIP1 NX    =         4096 / # of pixels along X               
HIERARCH ESO DET CHIP1 NY    =         2048 / # of pixels along Y               
HIERARCH ESO DET CHIP1 PSZX  =         15.0 / Size of pixel in X                
HIERARCH ESO DET CHIP1 PSZY  =         15.0 / Size of pixel in Y                
HIERARCH ESO DET CHIP1 XGAP  =    30.000000 / Gap between chips along x         
HIERARCH ESO DET CHIP1 YGAP  =   480.000000 / Gap between chips along y

e do HST:

NAXIS   =                    2 / Number of axes                                 
NAXIS1  =                 4096 / Axis length                                    
NAXIS2  =                 2048 / Axis length      
/ World Coordinate System and Related Parameters 
WCSAXES =                    2 / number of World Coordinate System axes         
CRPIX1  =               2048.0 / x-coordinate of reference pixel
CRPIX2  =               1024.0 / y-coordinate of reference pixel
CRVAL1  =    265.2912834051976 / first axis value at reference pixel            
CRVAL2  =   -53.73758959227231 / second axis value at reference pixel           
CTYPE1  = 'RA---TAN'           / the coordinate type for the first axis         
CTYPE2  = 'DEC--TAN'           / the coordinate type for the second axis        
CD1_1   = -4.918872670979227E-07 / partial of first axis coordinate w.r.t. x    
CD1_2   = -1.396917954171559E-05 / partial of first axis coordinate w.r.t. y    
CD2_1   = -1.384084948439698E-05 / partial of second axis coordinate w.r.t. x   
CD2_2   = -4.648150629445651E-07 / partial of second axis coordinate w.r.t. y   
LTV1    =        0.0000000E+00 / offset in X to subsection start                
LTV2    =        0.0000000E+00 / offset in Y to subsection start                
LTM1_1  =                  1.0 / reciprocal of sampling rate in X               
LTM2_2  =                  1.0 / reciprocal of sampling rate in Y               
ORIENTAT=   -91.89333046290683 / position angle of image y axis (deg. e of n)   
RA_APER =   2.652613785123E+02 / RA of aperture reference position              
DEC_APER=  -5.373888553233E+01 / Declination of aperture reference position     
PA_APER =             -92.0979 / Position Angle of reference aperture center (deg)
VAFACTOR=   1.000099395635E+00 / velocity aberration plate scale factor         
TELESCOP= 'HST'                / telescope used to acquire data                 
INSTRUME= 'ACS   '             / identifier for instrument used to acquire data 
EQUINOX =               2000.0 / equinox of celestial coord. system    
RA_TARG =   2.652612333333E+02 / right ascension of the target (deg) (J2000)    
DEC_TARG=  -5.373910833333E+01 / declination of the target (deg) (J2000)        
ECL_LONG=           266.753944 / ecliptic longitude of the target (deg) (J2000) 
ECL_LAT =           -30.353201 / ecliptic latitude of the target (deg) (J2000)  
GAL_LONG=           338.133470 / galactic longitude of the target (deg) (J2000) 
GAL_LAT =           -12.035856 / galactic latitude of the target (deg) (J2000)
/ OTHER COORDINATE SYSTEM INFORMATION
APER_REF= 'JWFC      '         / aperture used for reference position
ELON_REF=           266.754033 / ecliptic longitude at reference position (deg) 
ELAT_REF=           -30.352975 / ecliptic latitude at reference position (deg)  
GLON_REF=           338.133712 / galactic longitude at reference position (deg) 
GLAT_REF=           -12.035819 / galactic latitude at reference position (deg)

O sistema de coordenadas FK5 ( Fifth Fundamental catalogue) � anterior ao ICRS (International Celestial Reference System, de 1998), e foi adotado pela IAU em 1984. O FK5 foi baseado na posi��o de 1535 estrelas fundamentais do FK4 e FK3 (Kopff A., 1937, Dritter Fundamentalkatalog des Berliner Astronomischen Jahrbuchs. I. Die Auwers-Sterne f�r die Epochen 1925 und 1950, Ver�ff. Astron. Rechen-Institut Berlin-Dahlem, 54, 117; Kopff A., 1938, Dritter Fundamentalkatalog des Berliner Astronomischen Jahrbuchs. II Die Zusatzsterne f�r die Epoche 1950, Abh. Preu�. Akad. Wiss. Phys.-math. Kl., 3), com 3117 novas estrelas fundamentais, com magnitudes entre 5,5 e 9,7. O ICRS2 s� foi adotado em 2009. Por defini��o, o FK5 usa o equin�cio de 2000, juliano, enquanto que o FK4 usa o de 1950, besseliano. A proje��o TAN � um sistema de perspectiva gnom�nica zenital [Tales de Miletus (c.624-547 a.C.], de plano tangente sem distor��es. As proje��es zenitais mapeiam toda a esfera em um plano.
projecao zenital
A proje��o TNX n�o � padr�o. Ela segue a conven��o para uma proje��o no plano tangente, mas adiciona um termo de distor��o n�o linear.

Calcule as coordenadas de primeira ordem xi e eta usando a parte linear indicada em CRPIX e pela matriz CD:

 
         xi = CD1_1 * (x - CRPIX1) + CD1_2 * (y - CRPIX2)
        eta = CD2_1 * (x - CRPIX1) + CD2_2 * (y - CRPIX2)

Adicione a parte n�o linear da proje��o usando os coeficientes dados pelas palavras chaves WAT:
```
 
        xi' =  xi + lngcor (xi, eta)
       eta' = eta + latcor (xi, eta)
```
Use a transforma��o padr�o da proje��o plana tangencial para transformar xi' e eta' usando os valores de CRVAL como o ponto tangencial para obter a ascens�o reta e a declina��o.

As fun��es n�o-lineares lngcor(xi,eta) e latcor(xi,eta) s�o func�es polinomiais cujos coeficientes s�o dados nas palavras chaves WATj_nnn, onde j indica o eixo e nnn os coeficientes.

ICRS

O sistema de refer�ncia para as coordenadas adotado pela Uni�o Astron�mica Internacional � o ICRS (International Celestial Reference System)), com origem no baricentro do sistema solar, com eixos que n�o monstram rota��o em rela��o a objetos extragal�ticos distantes. O Gaia-CRF3 sistema de refer�ncia � baseado em 33 meses de observa��es do 1 614 173 fontes extragal�ticas, comparado com o FK5 que usava estrelas.

O dia juliano modificado, MJD (Modified Julian Date, corresponde a (JD - 2 400 000.5).

A p�gina do observat�rio virtual do NOAO (National Optical Astronomy Observatories) tem uma ferramenta para analisar e corrigir distor��es nestas indica��es de coordenadas.

Astrometry.net permite determinar as coordenadas equatoriais de qualquer imagem, calculando os tri�ngulos existentes na imagem e comparando-os com os calculados para todo o c�u, desde escalas de v�rios graus at� de alguns minutos de arco. N�o � necess�rio informar qualquer escala ou posi��o (Dustin Lang, David W. Hogg, Keir Mierle, Michael Blanton & Sam Roweis. 2010, Astronomical Journal, 139, 1782.)

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Astronomia e Astrofísica

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Modificada em 22 set 2024