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Biegung

[791] Biegung nennt man solche Verschiebungen der Teilchen von St�ben oder Platten, durch welche Form�nderungen ihrer Achse oder Achsschicht (s.d. und Achse eines Stabes) bedingt sind. An dieser Stelle soll die elastische Biegung von St�ben zur Sprache kommen (s.a. Feder, Platten). Die Achslinie nach der Biegung hei�t elastische Linie (s.d.) oder Biegungslinie. Meist werden nur F�lle behandelt, in welchen die Stabachse urspr�nglich, d.h. im spannungslosen Zustande des Stabes bei einer als normal angenommenen [791] Temperatur, gerade oder einfach gekr�mmt war, alle �u�eren Kr�fte in einer Symmetrieebene des Stabes wirken (oder doch in der Ebene durch eine der Haupttr�gheitsachsen der Querschnitte, s. Tr�gheitsmoment) und in jeder Senkrechten zu dieser Biegungsebene der Stabachse �berall gleiche Biegungsverh�ltnisse bestehen oder angenommen werden, so da� es gen�gt, die Untersuchung der letzteren in der Ebene durchzuf�hren. Die technische Biegungstheorie geht von gewissen Voraussetzungen aus, durch welche die G�ltigkeit ihrer Resultate beschr�nkt ist (vgl. unten I.). Gew�hnlich sind es die folgenden: a) Die Fl�chenelemente, welche vor der Biegung auf einem ebenen Querschnitte lagen, bilden auch nach der Biegung eine zur Stabachse senkrechte Ebene. b) F�r die Biegung kommen nur die L�ngen�nderungen der zur Achse parallelen Fasern und f�r diese neben Temperatur�nderungen nur die Zug- und Druckkr�fte an den Querschnittselementen in Betracht. c) Die Elastizit�tsmoduln f�r Zug und Druck sind innerhalb der Biegungsgrenzen f�r alle unter b) erw�hnten Fasern als gleich und konstant anzusehen (Mittelwerte). Diese Annahmen und Voraussetzungen m�gen, soweit nichts Gegenteiliges bemerkt wird, auch im folgenden gelten. Uebrigens pflegt die Annahme betreffend das Ebenbleiben der Querschnitte bei der Form�nderung auch dann als Ausgangspunkt zu dienen, wenn die Voraussetzungen b) und c) nicht aufrechterhalten werden (s. z.B. Betoneisenkonstruktionen); sie hat sich bei Versuchen mit Schwei�eisen und Flu�eisen bis zu sehr weit getriebener Biegung und selbst bei Gu�eisen, Granit, Sandstein u.s.w. verh�ltnism��ig gut bew�hrt [25], S. 210, 232, 246, [26], S. 34, 436, 438. – Die Hauptaufgabe der technischen Biegungstheorie besteht darin, die mit der Biegung verbundenen Beanspruchungen und St�tzenreaktionen zu ermitteln. Daneben interessieren die Form�nderungen, mitunter an sich (Einsenkungen u.s.w.), h�ufiger aber deshalb, weil manche Gr��en, welche bei Berechnung jener Beanspruchungen bekannt sein m�ssen, nur aus Beziehungen f�r die Form�nderungen abgeleitet werden k�nnen (St�tzenmomente durchlaufender und verschiedener einfacher Balken, Horizontalschub von Bogen u.s.w.). Da die Resultate der Biegungstheorie f�r die wichtigsten F�lle bei der Behandlung der letzteren vorzuf�hren sind (s.u.a. Balken und Bogen, einfache und durchlaufende, Einsenkung, Elastische Linie, Zug und Druck, exzentrischer, Knickfestigkeit, Nebenspannungen), so wollen wir uns hier auf die Anf�hrung der Grundformeln beschr�nken.

F�r einen beliebigen Querschnitt x m�gen bezeichnen M_x das Angriffsmoment (Biegungsmoment), N_x, T_x, V_x, H_x die Normalkraft, Transversalkraft, Vertikalkraft und Horizontalkraft (s. Angriffsmoment, Balken, Bogen), J das Tr�gheitsmoment (s.d.) in Hinsicht der Achsschicht und ν die positive oder negative Entfernung eines Querschnittelementes von der letzteren. Spannungen hei�en im folgenden Beanspruchungen pro Fl�cheneinheit im Innern der betrachteten St�be. Normalspannungen wirken normal, Schubspannungen l�ngs den ergriffenen Fl�chenelementen (s. Spannung). Alle Form�nderungen seien so klein vorausgesetzt, da� die Aenderungen der Stababmessungen gegen deren urspr�ngliche Werte vernachl�ssigt werden d�rfen.

I. Biegung horizontaler Balken.

Als horizontale Balken bezeichnet man solche Balken (s.d.), deren Achse stets nur sehr wenig von einer Horizontalen abweicht (so wenig, da� die Tangente des Neigungswinkels gegen 1 vernachl�ssigt werden kann). Man hat dann bei beliebiger Belastung:

N_X = H_X = 0, T_x = V_x.

1.

Die Normalspannung auf ein Querschnittselement bei υ und die vertikale wie horizontale Schubspannung bei υ (Schubspannung auf ein Querschnittselement und auf ein Fl�chenelement parallel der Achsschicht daselbst) sind ausgedr�ckt:

σ = υ/J M_x τ = S_υ/bJ V_x

2.

wobei die υ unterhalb der Achsschicht und die in Fig. 1 angedeuteten Richtungen der M_x, V_x als positiv zu gelten pflegen. b bedeutet die Stabbreite bei ν und Sυ das statische Moment des Querschnittsteils von ν bis zum �u�ersten Querschnittselement auf der positiven Seite der Achsschicht. Nach der ersten Gleichung 2. erhalten die Fasern auf der einen Seite der Achsschicht Zug, auf der andern Seite Druck; die ersteren werden verl�ngert, die letzteren verk�rzt, die Achsschicht selbst bildet eine neutrale Schicht (s. Achse, neutrale). F�r nicht vertikale Fl�chenelemente bei x, ν k�nnen die Normalspannungen und Schubspannungen im allgemeinen, gr��er werden als σ, τ. Die numerisch gr��ten Werte f�r irgendwelche Fl�chenelemente daselbst sind absolut genommen:

[792] worin auch σ ohne Vorzeichen einzusetzen ist (s. Hauptspannungen), doch werden meist nur die Spannungen σ, τ in Betracht gezogen, was in vielen F�llen gen�gt. F�r den ganzen Querschnitt erreicht bτ in der Achsschicht, σ in der gr��ten Entfernung e von der letzteren seinen gr��ten Wert, w�hrend speziell f�r Blechtr�ger (s.d.) das gr��te N bei Beginn der Gurtung, das gr��te S zwischen Achsschicht und Beginn der Gurtung, gew�hnlich in einem dieser Grenzpunkte, eintritt. Die gr��te Normalspannung im Querschnittt x ist nach 2.:

worin das positive oder negative Vorzeichen gilt, je nachdem f�r das von der Achsschicht entfernteste Querschnittselement υ = e oder υ = – e ist. Der Wert W = J: e hei�t das Widerstandsmoment des Querschnitts. In der Tabelle S. 794 ff. sind die e, J, W hinsichtlich der strichpunktiert angedeuteten Achsschicht (bei horizontalen Balken neutrale Achse) f�r eine Reihe von Querschnitten angef�hrt. Da bei gleichem Mx der Wert von σ_e zufolge 4. mit wachsendem W abnimmt, so hat man Querschnittsformen von m�glichst gro�em Widerstandsmoment bei bestimmter Fl�che eingef�hrt (I-Tr�ger, Blechtr�ger u.s.w.). Mitunter wird die Form des Stabes so gew�hlt, da� σ_e f�r alle Querschnitte den gleichen Wert hat (s. K�rper von gleichem Widerstande).

Bezeichnen beim Querschnitt x E den Elastizit�tsmodul, ρ den schlie�lichen Kr�mmungsradius der Stabachse und σ₁ die Normalspannung der Querschnittselemente bei ν = 1, so hat man:

σ = υ σ₁ = υ/ρ E, M_x = E J/ρ

5.

Denken wir uns in der Biegungsebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit horizontaler x-Achse und vertikaler y-Achse (Fig. 1) in fester Lage gegen die urspr�ngliche Gruppierung der Stabteilchen angenommen und beziehen die Koordinaten y auf die Punkte der schlie�lichen Stabachse, so folgt aus 5. mit dem durch die Differentialrechnung gelieferten Ausdrucke des Kr�mmungsradius

die Differentialgleichung der Stabachse oder elastischen Linie:

Die Gleichungen 5., 6. w�rden unter den Voraussetzungen a) bis c) auch f�r beliebig gro�e Biegungen gelten [11]. Setzt man jedoch die Biegungen so klein voraus, da� (dy/dx)² gegen 1 vernachl�ssigt werden kann, so entsteht die Naviersche Biegungsformel:

d²y/dx² = – Mx/E J

7.

welche Navier [1] zuerst mit nachhaltigem Erfolge als Ausgangspunkt der technischen Biegungstheorie gerader St�be w�hlte. Auf Grund von 7. sind z.B. die in den Art. Balken (auch einfache und durchlaufende) gegebenen Ausdr�cke der St�tzenmomente M, M', Mr und die in der vorletzten Kolumne der Tabelle S. 520, 521 angef�hrten Einsenkungen f berechnet [6], [15]. S.a. Elastische Linie, Einsenkung.

Da� die Naviersche Gleichung nebst den ihr zugrunde liegenden Voraussetzungen a)–c) (S. 792) auch nach der allgemeinen Theorie der Elastizit�t f�r viele praktische F�lle innerhalb der �blichen Beanspruchungen gen�gen, lassen einschlagende Arbeiten von Saint-Venant, Kirchhoff, Pochhammer [3], [4], [9] erkennen, und manche Versuchsresultate (Ebenbleiben der Querschnitte bei Bauschinger, Consid�re, Kupffer, Hervortreten der Spannungstrajektorien bei Tetmajer u.s.w.), zahlreiche Beobachtungen an ausgef�hrten Konstruktionen (Einsenkungen, Form�nderungen durchlaufender Balken u.s.w.) und jahrzehntelange Erfahrungen mit den auf Grund jener Annahmen berechneten eisernen Tr�gern scheinen f�r ihre vielfache Zul�ssigkeit zu sprechen. Anderseits beruhen auch die in Frage kommenden Teile der allgemeinen Elastizit�tslehre auf Voraussetzungen, welche f�r technisch wichtige Materialien nicht einmal ann�hernd zutreffen (Isotropie des Materials, gleiche und konstante Elastizit�tsmoduln f�r Zug und Druck u.s.w.), die praktischen F�lle entsprechen nicht immer gen�gend den Voraussetzungen der erw�hnten theoretischen Ableitungen (die Querschnittsdimensionen verschwinden nicht gegen die L�nge u.s.w.), und die gebr�uchlichen Annahmen umfassen nicht alle Einwirkungen, deren Ber�cksichtigung unter Umst�nden geboten sein kann (Temperatur�nderungen, Reibungen an den Auflagern u.s.w.), wie dieselben auch keinesfalls bis zum Bruche gelten. So haben lieh mehrfach Abweichungen von den gew�hnlichen Formeln als notwendig erwiesen.

Die Gleichheit und Unver�nderlichkeit der Elastizit�tsmoduln f�r Zug und Druck gilt zwar innerhalb gewisser Grenzen ann�hernd f�r Schwei�eisen, Flu�eisen und Stahl, nicht aber z.B. f�r Gu�eisen. Dementsprechend fand Consid�re, da� die neutrale Schicht bei diesem fast von Beginn der Biegung an von der Achsschicht abwich und z.B. bei einem bearbeiteten (von der Gu�haut befreiten) quadratischen Stabe von 2,01 cm St�rke und 1 m Spannweite bis 0,614 der H�he von den �u�ersten Zugfasern gegen die Druckseite gelangte. Die auf Grund von 4. ermittelte Biegungsfestigkeit (gr��te rechnungsm��ige Normalspannung im Bruchquerschnitt) war b = 2063 kg/qcm oder β = 1,83 mal so gro� als die f�r dasselbe Gu�eisen bei gew�hnlichen Zugversuchen erhaltene Fertigkeit z = 1130 kg. Bei Versuchen mit runden Gu�eisenst�ben von[796] 2,03 cm Durchmesser erhielt Consid�re β = 2,17 und 2,25, w�hrend die franz�sische Bauverwaltung fr�her allgemein β = 2 annahm. Nach Consid�re [14], S. 96 u. f., und Bach [25], S. 237 u. f., �berschreriet b den Wert von ζ um so mehr, je mehr sich das Material nach der Achsschicht hin zusammendr�ngt; f�r einen quadratischen Stab mit horizontaler Diagonalschicht beispielsweise erhielt Bach � = 2,35 (s.a. Biegungsfestigkeit). Daneben machte sich bei Versuchen Bachs mit unbearbeiteten St�ben ein Einflu� der Gu�haut auf Verminderung von β (um etwa ¹/₆) bemerkbar.

Wie Gu�eisen, so weicht auch das als Konstruktionsmaterial f�r Hallenbedachungen viel verwendete Glas stark von der gew�hnlichen Biegungstheorie ab, was sich auch bei ihm schon darin zeigt, da� die neutrale Schicht nicht mit der Achsschicht zusammenf�llt [17], S. 13. Bei Versuchen von Connert ergab sich, da� die Glasdicke von wesentlichem Einflu� auf jene Abweichungen ist, w�hrend letztere f�r Weichglas und Hartglas so verschieden ausfielen, da� sie nur durch besondere Formeln f�r beide F�lle dargestellt werden konnten [17], S. 109. Soweit die gew�hnlichen Biegungsformeln bei Holz, Stein, Beton u.s.w. zur Verwendung kommen, sind sie nat�rlich ebenfalls nur als Notbehelfe aufzufallen, da die Elastizit�tsmoduln dieser K�rper f�r Zug und Druck nicht gleich und stark ver�nderlich sind (vgl. Elastizit�tsmodul, Elastizit�tsgesetz, Zugelastizit�t, Druckelastizit�t). Indessen erh�lt man bei Ber�cksichtigung dieser Verh�ltnisse Biegungsformeln, welche f�r praktische Zwecke im allgemeinen zu umst�ndlich sind [22], [23], [24].

W�hrend die Abweichungen der neutralen Schicht von der Achsschicht bei Gu�eisen, Stein u.s.w. schon durch die Verschiedenheit der Elastizit�tsmoduln f�r Zug und Druck erkl�rlich erscheinen, fand Flamant auf Grund der allgemeinen Elastizit�tslehre, da� die neutrale Schicht auch abgesehen hiervon und von der mangelnden Isotropie des Materials bei oben angreifender Last etwas nach oben, bei unten angreifender etwas nach unten r�ckt [20], S. 239, 242, was vorausgegangene Versuche von Wilson mit ausgegl�hten rechteckigen Glasst�ben best�tigten [20], S. 246. Doch nahmen die Abweichungen mit wachsendem l : h rasch ab (l Spannweite, s. Biegungselastizit�t Fig. 1, h Querschnittsh�he), so da� sie schon f�r l: h = 6 nur noch etwa h: 25 betrugen [20], S. 240.

Der Einflu� der vertikalen Schubspannungen τ auf die Biegung wurde zuerst, wenn auch nicht allgemein gen�gend (die Ver�nderlichkeit von τ mit der Entfernung von der Achsschicht blieb unber�cksichtigt), von Poncelet [2] (deutsche Ausgabe S. 193, vgl. [8], S. 213), dann aber sch�rfer und ausf�hrlich von Castigliano [13] (S. 141, deutsche Ausgabe S. 135) verfolgt, wie auch besonders von Winkler in Betracht gezogen [16], S. 90. Bach und Mantel fanden, da� dieser Einflu� bei Bestimmung des Elastizit�tsmoduls aus Biegungsversuchen zu ber�cksichtigen ist (s. Elastizit�tsmodul), da die bekannte Tatsache, da� solche Versuche E auf Grund der sonst eintretenden Formel f�r die Einsenkung (s. Biegungselastizit�t) oft wesentlich kleiner als Zugversuche ergeben, aus ihm vollst�ndig erkl�rt werden konnte. Es liegt hierin eine neue Best�tigung der Biegungstheorie im allgemeinen. Die Naviersche Biegungsformel mit Ber�cksichtigung des Einflusses der vertikalen τ lautet:

oder auch:

Mittels dieser Formel sind z.B. die in der Tabelle S. 520, 521 gegebenen Einsenkungen mit R�cksicht auf die τ oder auf V_x berechnet. S.a. Biegungselastizit�t, Einsenkung, Elastische Linie.

In 8., 9. bedeutet G den Schubelastizit�tsmodul (s.d.) und k einen vom Querschnitt allein abh�ngigen Koeffizienten, der allgemein durch

ausgedr�ckt ist, bei Erstreckung des Integrals auf alle Querschnittselemente dF. Man erh�lt z.B. f�r Quadrat und Rechteck k = ⁶/₅, f�r den Kreis und gew�hnlich gen�gend genau auch f�r die Ellipse k = ^l0/₉, f�r den rechteckigen, Ring, I-Querschnitt und [-Querschnitt mit den in Tabelle S. 794, Nr. 6–8, verwendeten Bezeichnungen und b₁ = mb, h₁ = nh:

Diese Gleichung liefert f�r m = 0 oder n = 0 oder n = l wieder den dem Rechteck entsprechenden Wert ⁶/₅, und weiter

Die in kleiner Schrift beigesetzten Werte ergeben sich aus der von Winkler [16], S. 108, f�r symmetrische Blechtr�gerquerschnitte ermittelten N�herungsformel

K = F/hd

12.

[797] die auf der Voraussetzung beruht, da� sich die Vertikalkraft V_x allein und gleichm��ig auf die Vertikalplatte von der Dicke d und der ganzen Tr�gerh�he h verteilt. (F�r Blechtr�ger sind die Schubspannungen τ von der bis zum Beginn der Gurtungen wenig ver�nderlich und f�r die Gurtungen klein, also von geringem Einflu�, vgl. Blechtr�ger). Die Formel ist auch f�r die �blichen I-Tr�ger, denen mit den in 11. verwendeten Bezeichnungen die Form

k = 1 – mn/1 – m

13.

entspricht, gen�gend genau. F�r die deutschen Normalprofile

Nr. 10

14

17

24

30

40

50

ergab Gleichung 11.:

k = 2,43

2,36

2,30

2,27

2,20

2,11

2,06,

dagegen Gleichung 13.:

k = 2,37

2,31

2,25

2,22

2,15

2,05

2,01,

und 12. mit dem im deutschen Normalprofilbuch angef�hrten F:

k = 2,37

2,30

2,26

2,22

2,14

2,05

2,00,

w�hrend Mantel [19], S. 100, graphisch mit Ber�cksichtigung der Flanschenneigungen und Abrundungen erhielt:

k = 2,34

2,28

2,25

2,18

2,13

2,08

2,03.

Ueber graphische Ermittlung von k f�r andre Querschnitte s. [18], S. 148, 168.

Bei Drehbr�cken, die als durchlaufende Balken mit zwei Oeffnungen angeordnet waren, hat man mitunter bei starker Sommerhitze die Tr�gerenden derart fest aufsitzend gefunden, da� eine Drehung erst vorgenommen werden konnte, nachdem der Obergurt einige Zeit mit einer Holzh�lle bedeckt war (schlechter W�rmeleiter, vgl. [7]). Dies zeigt einen Einflu� der W�rme auf solche Tr�ger, der verfolgt werden mu�te, wenn die ung�nstigsten Beanspruchungen und die n�tigen Kr�fte zur Drehung f�r alle F�lle angegeben werden f�llten. Ist auf irgendwelche Art, z.B. weil der Untergurt bei obenliegender Fahrbahn vor direkter Einwirkung der Sonne gesch�tzt war, beim Querschnitt x eine Differenz t = t_o – t_u der Temperaturen von Oberkante und Unterkante des Tr�gers entstanden, und denkt man sich diese Differenz auf die Tr�gerh�he gleichm��ig verteilt, so folgt der mit R�cksicht auf diesen Einflu� verallgemeinerte Ausdruck der Navierschen Formel [10]

w�hrend 7. nur gleichm��ige Temperatur�nderungen f�r einen ganzen Querschnitt zul��t. In 14. bedeutet α den linearen Ausdehnungskoeffizienten (s.d.) des Tr�germaterials, t wie die �brigen Gr��en k�nnen mit x ver�nderlich sein. Mit Hilfe von 14. unter Voraussetzung eines konstanten t sind die in dem Art. Balken, durchlaufende, unter »Temperatureinfl�sse« angef�hrten Formeln erhalten [15], S. 150. Aehnliche Einfl�sse k�nnen auch f�r einfache Balken mit St�tzenmomenten auftreten; vgl. Elastische Linie.

II. Einfach gekr�mmte St�be.

Es seien beim Querschnitte x vor der Biegung r der Kr�mmungsradius der Stabachse, υ die positive oder negative Entfernung eines Querschnittselements dF von der Achsschicht, und wenn p die Entfernung der �u�ersten Faser auf der positiven, dem Kr�mmungsmittelpunkt entgegensetzten Seite der Achsschicht von der letzteren bedeutet:

Das Integral in 15. ist auf alle Querschnittselemente zu erstrecken. Die Produkte αt aus Ausdehnungskoeffizient α und die Temperatur�nderung t (Zunahme positiv) gegen die angenommene Normaltemperatur werden bei allen Querschnittselementen gleich gro� vorausgesetzt, w�hrend

entweder dr�ckende σ und die in Fig. 2 angedeuteten Richtungen von Mx, Nx, T_x als positiv gelten k�nnen (wobei Mx die anf�ngliche Kr�mmung zu vermindern sucht, N_x Druck bedeutet und T_x vom Kr�mmungszentrum weggerichtet ist), oder ziehende σ und die in Fig. 3 angedeuteten Richtungen von M_x, Nx, T_x. Ersteres ist bei elastischen Bogentr�gern �blich. In beiden F�llen sind die Normalspannung σ und die Querschubspannung und L�ngsschubspannung τ (Schubspannung auf Fl�chenelemente senkrecht und parallel der Achsschicht) bei υ ausgedr�ckt [21], � 3:

unter b die Tr�gerbreite bei x, υ, unter tx denjenigen Teil von T_x verbanden, der auf den Querschnittsteil von υ bis p kommt.[798] Derselbe k�nnte, wenn man 19. ohne Vernachl�ssigung verwenden wollte, zun�chst aus der einfacheren Gleichung 25. berechnet werden, doch sind die Schubspannungen τ bei den hier in Frage kommenden Aufgaben (insbesondere betreffend elastische Bogentr�ger) im allgemeinen nur ann�hernd berechnet oder �berhaupt nicht in Betracht gezogen worden. Auch die schiefen Spannungen, deren gr��te Absolutwerte wieder durch 3. bestimmt sind, wurden mein unber�cksichtigt gelassen.

W�hrend das durch 17. ausgedr�ckte statische Moment Sυ des Tr�gerteils von υ bis p in Hinsicht der Achsschicht und das Tr�gheitsmoment

des ganzen Querschnitts in Hinsicht derselben nur vom Querschnitt x selbst abh�ngen, ist das Kr�mmungsmoment K nach 15. auch vom Kr�mmungsradius r der Stabachse bei x abh�ngig. Setzt man allgemein:

K = φ J,

21.

so findet sich z.B. f�r quadratische und rechteckige Querschnitte von der H�he h = 2e:

f�r kreisf�rmige und elliptische Querschnitte von H�he h = 2e:

w�hrend sich beispielsweise f�r folgende Querschnitte und r : h die beigesetzten φ ergeben [21], � 5:

Hiernach kann in den meinen F�llen J an Stelle von K gesetzt werden. Damit vernachl�ssigt. man zufolge 15., 20. die Entfernungen ν der Querschnittselemente gegen den Kr�mmungsradius r. Geschieht dies auch in 18., 19., 16., so folgen:

und wenn, wie bei elastischen Bogentr�gern �blich, noch die Glieder mit r im Nenner gegen die �brigen vernachl�ssigt werden:

Nach 18., 22., 25. erreicht α f�r einen Querschnitt x seine �u�ersten Werte in den beiderseits am weiteren von der Achsschicht gelegenen Querschnittselementen (vgl. a. Blechtr�ger, Kernlinien), w�hrend bτ mit R�cksicht auf die Ausdr�cke von L in diesen Elementen 0 wird und z.B. auf Grund von 25. wie bei horizontalen Balken (s. oben I.) in der Achsschicht seinen gr��ten Wert annimmt.

Wir wollen, besonders im Hinblick auf elastische Bogentr�ger, noch einige weitere Formeln beif�gen, wobei dr�ckende σ als positiv gelten und die positiven Richtungen von M_x, N_x, T_x entsprechend Fig. 2 gew�hlt werden. Ein rechtwinkliges Koordinatensystem von fester Lage gegen die anf�ngliche Gruppierung der Stabpunkte sei in der Biegungsebene so angenommen, da� die x-Achse auf der gleichen Seite der Achsschicht wie das anf�ngliche Kr�mmungszentrum bei x liegt, und die positive Richtung der y von der Seite des letzteren nach der entgegengesetzten geht. Als Koordinaten x, y eines Querschnittes x gelten die anf�nglichen Koordinaten seines in der Stabachse liegenden Schwerpunktes, w�hrend s die anf�ngliche Achsl�nge von 0 bis x und φ den anf�nglichen Winkel der Stabachse bei x mit der positiven Richtung der x-Achse bedeuten. Bezeichnen dann Δx, Δy, Δs, Δφ die Aenderungen von x, y, s, φ, die diesen Gr��en gegen�ber verschwindend klein vorausgesetzt werden, dann hat man:

worin:

[799] oder, wenn, wie f�r 22.–24., alle υ gegen r vernachl�ssigt werden, neben 29.:

und wenn noch, wie f�r 25., die Glieder mit r im Nenner gegen die �brigen vernachl�ssigt werden,

Auf Grund von 26.–28. mit Υ, Z nach 29., 31. sind z.B. die unter Bogen, einfache und durchlaufende, gegebenen Ausdr�cke des Horizontalschubes H und der Endmomente, MM' berechnet [21]; s.a. [15], A. 54, 55.

III. Gerade St�be von beliebiger Richtung.

F�r solche gelten K = J, L = S_υ und die Gleichungen 25., 32. unter den Voraussetzungen a)–c) (S. 792) genau, da ihnen in 15., 16., 22., 23., 29., 30. r = ∞ entspricht (Fig. 5). Werden die x-Achse parallel oder doch so nahe einer Parallelen zur Stabachse gelegt, da� ds = dx gesetzt werden darf und die Ordinaten y im vorliegenden Falle auf die schlie�liche Stabachse bezogen (vor der Form�nderung w�ren sie f�r eine Abszissenachse parallel der Stabachse alle gleich), dann hat man f�r die zuletzt betrachteten kleinen Form�nderungen:

und damit nach 32. die Naviersche Biegungsgleichung

die demnach auch bei Auftreten von Axialkr�ften Nx und Temperatur�nderungen gilt, vorausgesetzt, da� letztere f�r je einen ganzen Querschnitt gleich gro� sind (vgl. Formel 14.). Sollen die Momente, wie f�r 7., als positiv gelten, wenn sie die Kr�mmung nach der x-Achse (mit Kr�mmungszentrum von der Achsschicht aus in der Richtung nach der x-Achse) zu vergr��ern streben (Fig. 1, 6), dann hat man in 25., 32., 33. – Mx an Stelle von M_x zu setzen. Werden ziehende Nx, σ als positiv angesehen, so treten in 25., 32. – Nx, – σ an die Stellen von Nx, σ. – Anwendungen der Formeln f�r gerade St�be von beliebiger Richtung kommen bei Betrachtung der Knickfestigkeit, exzentrischen Druckbeanspruchung und Zugbeanspruchung, Nebenspannungen von Fachwerken u.s.w. vor; s.a. [15], A. 54, 55, 56, 58, 107.

Literatur: [1] Navier, R�sum� des le�ons donn�es � l'�cole royale des ponts et chauss�es sur l'application de la m�canique � l'�tablissement des constructions et des machines, Paris 1826 (3. Auflage mit Erg�nzungen von Saint-Venant, Paris 1864; deutsche Ausgabe Hannover 1879). – [2] Poncelet, Cours de m�canique appliqu�e aux machines, Metz 1826 (2. Aufl. Metz 1837; deutsche Ausgabe Darmstadt 1848). – [3] de Saint-Venant, M�moire sur la flexion des prismes, Liouvilles Journal, I, 1856; Clebsch, Theorie der Elastizit�t fester K�rper, Leipzig 1862, S. 70. – [4] Kirchhoff, Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich d�nnen elastischen Stabes, Crelles Journal 1859, LVI, S. 285. – [5] Winkler, Die Lehre von der Elastizit�t und Festigkeit, Prag 1867. – [6] Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Tr�ger, Leipzig 1873. – [7] Steiner, Ueber den Einflu� einer ungleichm��igen Erw�rmung der Gurte auf kontinuierliche Tr�ger, Wochenschr. d. �sterr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1877, S. 292. – [8] Grashof, Theorie der Elastizit�t und Festigkeit, Berlin 1878. – [9] Pochhammer, Untersuchungen �ber das Gleichgewicht des elastischen Stabes, Kiel 1879. – [10] Weyrauch, Temperatureinfl�sse bei kontinuierlichen Tr�gern, Zeitschr. f. Baukunde 1879, S. 437. – [11] Saalsch�tz, Der belastete Stab unter Einwirkung einer seitlichen Kraft, Leipzig 1880. – [12] M�ller-Breslau, Theorie und Berechnung eiserner Bogenbr�cken, Berlin 1880. – [13] Castigliano, Th�orie de l'�quilibre des syst�mes �lastiques, Turin 1880 (deutsche Ausgabe, Wien 1886). – [14] Consid�re, M�moire sur l'emploi du fer et de l'arcier, Paris 1885 (auch Annales des ponts et chauss�es, 1885, I). – [15] Weyrauch, Aufgaben zur Theorie elastischer K�rper, Leipzig 1885. – [16] Winkler, Theorie der Br�cken, 1. Heft: Aeu�ere Kr�fte der Balkentr�ger, Wien 1886. – [17] Connert, Ueber die Biegungsfestigkeit des Glases, Civilingenieur 1888, S. 1, 109, 621. – [18] Ritter, Anwendungen der graphischen Statik, I.: Die im Innern eines Balkens wirkenden Kr�fte, Z�rich 1888. – [19] Mantel, Zum Einflu� der Schubspannungen u.s.w., Schweiz. Bauzeitung 1889, I, S. 99. – [20] Flamant, De l'influence sur la flexion des poutres de la position superficielle des charges, Annales des ponts et chauss�es 1893, II, p. 228. – [21] Weyrauch, Elastische Bogentr�ger, ihre Theorie und Berechnung entsprechend den Bed�rfnissen der Praxis, M�nchen 1896. – [22] Latowski, Die Biegungselastizit�t bei K�rpern von ungleicher Festigkeit, Zeitschr. d. Vereins deutsch. Ing. 1897, S. 941. – [23] Engesser, Widerstandsmomente und Kernfiguren bei beliebigem Form�nderungsgesetz, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ingenieure 1898, S. 903, 927. – [24] Schule, Die Biegungslehre gerader St�be mit ver�nderlichem Dehnungskoeffizienten, Dinglers Polyt. Journal 1902, S. 149. – [25] Bach, Elastizit�t und Fertigkeit, Berlin 1902. – [26] v. Tetmajer, Die angewandte Elastizit�ts- und Festigkeitslehre, Leipzig und Wien 1904. – S.a. die Literatur unter Balken, Bogen (einfache und durchlaufende), Biegungsfestigkeit, Blechtr�ger, Einsenkung, Elastizit�tsmodul u.s.w.

Weyrauch.