Côté droit

Une ellipse (intérieur en bleu, foyers en rouge) et son demi-côté droit (p).

Historiquement, le vocabulaire fut :

• En géométrie, le côté droit (en latin : latus rectum) ou paramètre d'une conique est la corde passant par le foyer de la conique, perpendiculaire à son grand axe et dont les extrémités sont deux points de la courbe.
• Le demi-côté droit (en latin : semilatus rectum) ou demi-paramètre est la moitié du côté droit ou paramètre.

De nos jours, on appelle paramètre le demi-côté droit.

Notation

La paramètre est noté $p$ ou $l$.

Relation de définition

Le paramètre $p$ d'une conique est défini à partir de l'équation cartésienne réduite d'une parabole :

$y^{2}=2px$,

où $x$ et $y$ sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée du sommet de la parabole.

L'équation précédente (1) se généralise à toute conique par :

$y^{2}=2px+\lambda x^{2}$,

avec $\lambda x^{2}=0$ pour une parabole, $\lambda \neq 0$ pour une conique à centre, $\lambda <0$ pour une ellipse et $\lambda >0$ pour une hyperbole.

En effet, l'équation cartésienne réduite d'une conique à centre est :

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$,

où $a$ et $b$ sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de la conique à centre et avec le signe $+$ si celle-ci est une ellipse ou la signe $-$ si elle est une hyperbole.

En comparant à la première équation (1), l'équation précédente (3) s'écrit :

$y^{2}=2px\mp {\frac {p}{a}}x^{2}$,

où $p={\frac {b^{2}}{a}}$ est la paramètre d'une conique à centre et avec le signe $-$ si celle-ci est une ellipse ou le signe $+$ si elle est une hyperbole.

En comparant l'équation précédente (4) avec la deuxième équation (2) :

$\lambda =-{\frac {p}{a}}$ pour une ellipse et $\lambda ={\frac {p}{a}}$ pour une hyperbole.

Paramètre et équation polaire

Une conique est une courbe plane qui admet l'équation polaire :

$\rho ={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$,

où $\rho$ et $\theta$ sont les coordonnées polaires, $p$ est le paramètre de la conique et $e$ est son excentricité.

Le paramètre et l'excentricité d'une conique sont reliés par :

$p=ed$,

où $d$ est la distance d'un foyer à la directrice associée.

Le paramètre d'une conique à centre — c.-à-d. d'une ellipse ou d'une hyperbole — est relié au demi-grand axe $a$ et à au demi-petit axe $b$ de celle-ci par :

$p={\frac {b^{2}}{a}}$.

Histoire

Le paramètre est une des notions introduites par Apollonios de Perga, géomètre et astronome grec, élève d'Euclide. Il le nomme όρθια πλευρά, d'abord traduit en latin par latus erectum puis corrigé en latus rectum.

Voir aussi

Bibliographie

• [Cajori 1991] (en) Florian Cajori, A history of mathematics, New York, Chelsea, hors coll., 1991, 5^e éd. (1^re éd. 1894), XI-524 p., 16 × 24 cm (ISBN 0-8218-2102-4, EAN 9780821821022, OCLC 492837300, BNF 37379292, SUDOC 0-8218-2102-4, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Capderou 2011] Michel Capderou (préf. Hervé Le Treut), Satellites : de Kepler au GPS, Paris, Springer, hors coll., octobre 2011, 1^re éd., XXII-844 p., 16 × 23 cm (ISBN 978-2-287-99049-6, EAN 9782287990496, OCLC 780308456, BNF 42541514, DOI 10.1007/978-2-287-99050-2, SUDOC 156644711, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Edberg et Levy 1994] (en) Stephen J. Edberg et David H. Levy, Observing comets, asteroids, meteors, and the zodiacal light, Cambridge, CUP, coll. « Practical astronomy handbook series » (n^o 5), octobre 1994 (réimpr. juin 2008), 1^re éd., XV-243 p., 17 × 25 cm (ISBN 978-0-521-42003-7 et 978-0-521-06627-3, EAN 9780521420037, OCLC 468197259, BNF 37451314, SUDOC 01788201X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Gardies 2001] Jean-Louis Gardies, Qu'est-ce que et pourquoi l'analyse ? : essai de définition, Paris, J. Vrin, coll. « Problèmes et controverses », juin 2001, 1^re éd., 189 p., 13,5 × 21,5 cm (ISBN 978-2-7116-1486-8, EAN 9782711614868, OCLC 421936034, BNF 37647191, SUDOC 059020075, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Gibaud et Henry 2007] Alain Gibaud et Michel Henry, Mécanique du point, Paris, Dunod, coll. « Science Sup / cours de physique », août 2007 (réimpr. avril 2019), 2^e éd. (1^re éd. juin 1999), VII-328 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-050586-9, EAN 9782100505869, OCLC 301791694, BNF 41105571, SUDOC 11749836X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Heath 1921] (en) Thomas L. Heath, A history of Greek mathematics, t. II : From Aristarchus to Diophantus, Oxford, Clarendon, hors coll., 1921 (réimpr. mai 1981 et novembre 2013), 1^re éd., XI-586 p., 15 × 23 cm (ISBN 9781108062879 et 978-1-108-06307-4, OCLC 25397683, BNF 32229365, SUDOC 022729623, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).
• [Narlikar 2010] (en) Jayant V. Narlikar, An introduction to relativity, Cambridge, CUP, hors coll., février 2010 (réimpr. mars 2010), 1^re éd., VIII-363 p., 18 × 25,4 cm (ISBN 978-0-521-51497-2 et 978-0-521-73561-2, EAN 9780521514972, OCLC 690479799, DOI 10.1017/CBO9780511801341, SUDOC 142623024, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).
• [Raychaudhuri, Banerji et Banerjee 1992] (en) Amal K. Raychaudhuri, Sriranjan Banerji et Asit Banerjee, General relativity, astrophysics, and cosmology, New York et Berlin, Springer, coll. « Astronomy and astrophysics library », août 1992 (réimpr. novembre 2003), XI-296 p., 15,5 × 23,5 cm (ISBN 978-0-387-40628-2 et 978-3-540-97813-8, EAN 9780387406282, OCLC 468198164, BNF 37451376, S2CID 117284284, SUDOC 011594888, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

• [Bazylev 1988] (en) V. T. Bazylev, « Conic sections », dans Michiel Hazewinkel (éd.), Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet Mathematical encyclopaedia, t. II : Coproduct – Hausdorff-Young inequalities (traduit du russe par Vladim I. Bityutskov, Revaz V. Gamkrelidze, Yuri V. Prokhorov et Ivan M. Vinogradov), Dordrecht, Boston et Lancaster, D. Reidel – Kluwer Academic, coll. « Encyclopaedia of mathematics » (n^o 2), juillet 1988 (réimpr. janvier 1995 et décembre 2011), 1^re éd., IX-508 p., 21 × 30 cm (ISBN 1-55608-001-8, 978-1-55608-001-2 et 978-94-009-6002-2, EAN 9781556080104, OCLC 491733064, BNF 37357904, DOI 10.1007/978-94-009-6000-8, SUDOC 075475073, présentation en ligne, lire en ligne), p. 334-335.
• [Chambadal 1981] Lucien Chambadal, Dictionnaire de mathématiques, Paris, Hachette, coll. « Dictionnaire... » (n^o 1), décembre 1981, 1^re éd., 302-[10] p., 16 × 25 cm (ISBN 2-01-007596-X, EAN 9782010075964, OCLC 299385413, BNF 34671061, SUDOC 000462624, lire en ligne).
• [Gellert et al. 1975] (en) Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich et Herbert Kästner (éd. et préf.), The VNR concise encyclopedia of mathematics [« Mathematics at a glance »], New York, Van Nostrand Reinhold, hors coll., 1975 (réimpr. mai 2013), 1^re éd., 760-[28] p., 16 × 24 cm (ISBN 0-442-22646-2, 0-442-22647-0, 1-4684-8237-8, 978-0-442-22646-6, 978-0-44-222647-3 et 978-1-4684-8239-3, EAN 9780442226466, OCLC 2346058, BNF 45887349, DOI 10.1007/978-1-4684-8237-9, SUDOC 069392870, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « latus rectum » , sur MathWorld.
• (en) Eric W. Weisstein, « semilatus rectum » , sur MathWorld.